Ян Елкен е роден в Красноярска област през 1954 г., след депортирането на неговото семейство в Русия през 1949 г. Впоследствие семейството се връща в родната си страна Естония, където Ян завършва Факултета по архитектура на Естонската художествена академия през 1977 г. Той продължава обучението си по живопис между 1979 и 1981 г. като стипендиант. Преподава живопис в различни местни институции: Педагогическия институт в Талин (1987—1988 г.), Естонската академия за изкуства (1988—1997 г.) и Института за културни изследвания и изящни изкуства към Университета в Тарту (1997—2017 г.). От 2018 г. е „професор емеритус“ в университета в Тарту.
В началото на кариерата си той заема постове в местното управление: първо като архитект в Централното управление за архитектура и планиране в Талин (1977—1979 г.), а след това като специалист по история на изкуството/контрольор в Управлението за култура в Талин (1980—1987 г.).
След като първоначално следва хипер-реалистичен стил през 70-те години на миналия век, Елкен става един от най-известните абстрактни творци в страната си. Произведенията му са изключително текстурални, материални и толкова силно наслоени, че изглеждат почти „мръсни“. Като използва линейни мотиви и техники, за да насочва зрителя, художникът допълва своите предимно черни, бели и сиви творения с текстови добавки. Цялостната композиция на творбите му напомня на табло за закачане на бележки, обсипани с листовки и плакати, които са изтръгнати, заменени или са се износили с времето.
Като многоаспектна фигура от сферата на културата Елкен публикува многобройни трудове по теми в своята област — като се започне с критики в областта на изкуството и се стигне до политика. Той е бил ръководител на Естонския съюз на художниците (1995—1999 г.) и председател на Асоциацията на творците в Естония (1999—2013 г.).
