Jaan Elken wurde 1954 in Krasnoyarsk Krai geboren, nachdem seine Familie 1949 nach Russland deportiert worden war. Seine Familie kehrte schließlich in ihr Heimatland Estland zurück, wo Jaan im Jahr 1977 seinen Abschluss an der Fakultät für Architektur der estnischen Kunstakademie ablegte. Im Rahmen eines Stipendiums vertiefte er seine Ausbildung in Malerei zwischen 1979 und 1981. Er lehrte an mehreren estnischen Einrichtungen Malerei: am Pädagogischen Institut Tallinn (1987–1988), an der estnischen Kunstakademie (1988–1997) und am Institut für Kulturforschung und bildende Kunst an der Universität Tartu (1997–2017). Seit 2018 ist er entpflichteter Professor der Universität Tartu.
Zu Beginn seiner Karriere war er im öffentlichen Dienst tätig, zunächst als Architekt in der Behörde für Architektur und Planung in Tallinn (1977–1979) und später als Kunsthistoriker und Inspektor in der Kulturbehörde in Tallinn (1980–1987).
In den 1970er-Jahren malte Elken zwar im hyperrealistischen Stil, wurde dann aber zu einem der bekanntesten abstrakten Maler seines Landes. Seine Kunst ist extrem strukturell, materiell und mit so vielen Schichten ausgestattet, dass sie fast „schmutzig“ anmutet. Mithilfe gestreifter visueller Motive und Techniken zur Anleitung des Betrachters ergänzt der Maler seine hauptsächlich schwarzen, weißen und grauen Werke mit zusätzlichem Text. Seine Arrangements sind eine Reminiszenz an Pinnwände voller Flyer und Plakate, die heruntergerissen oder ersetzt wurden oder mit der Zeit abgenutzt sind.
Als vielfältiger Kulturschaffender hat Elken zahlreiche Schriftstücke zu Themen in seinem Bereich – von Kunstkritik bis hin zu Politik – veröffentlicht. Er war Vorsitzender des estnischen Verbands bildender Künstler (1995–1999) und der estnischen Künstlervereinigung (1999–2013).
