Jaan Elken nació en el Krai de Krasnoyarsk en 1954, después de que su familia fuera deportada a Rusia en 1949. Su familia finalmente regresó a su país de origen, Estonia, donde Jaan se graduó de la Facultad de Arquitectura de la Academia de Artes de Estonia en 1977. Continuó con sus estudios de pintura entre 1979 y 1981 con una beca. Enseñó pintura en varias instituciones locales: el Instituto Pedagógico de Tallin (1987–1988), la Academia de Artes de Estonia (1988–1997) y el Instituto para la Investigación Cultural y Bellas Artes de la Universidad de Tartu (1997–2017). Es profesor emérito de la Universidad de Tartu desde 2018.
En los inicios de su carrera, ocupó cargos en la administración local: primero como arquitecto en el Gobierno Central de Arquitectura y Planificación de Tallin (1977–1979) y después como historiador del arte e inspector en el Gobierno Cultural de Tallin (1980–1987).
Tras adoptar inicialmente un estilo hiperrealista en la década de los setenta, Elken se convirtió en uno de los pintores abstractos más conocidos de su país. Su arte es extremadamente texturizado, material y presenta tantas capas que su aspecto es casi «sucio». Sirviéndose de motivos visuales a rayas y de técnicas para orientar al espectador, el pintor complementa sus creaciones, principalmente en negro, blanco y gris, con adiciones textuales. Su composición general recuerda a los tablones de anuncios llenos de folletos y carteles que han sido arrancados o reemplazados o que se han deteriorado con el tiempo.
Polifacética figura cultural, Elken ha publicado numerosos textos sobre aspectos de su ámbito, desde la crítica de arte hasta la política. Presidió la Unión de Pintores de Estonia (1995–1999) y la Asociación de Artistas de Estonia (1999–2013).
