Claus Carstensen se narodil v roce 1957 v Sønderborgu. Při studiích na Královské dánské akademii výtvarných umění v Kodani (1977–1983) současně studoval literární komparatistiku na Kodaňské univerzitě (1979–1983) a byl členem Kodaňského sémiotického kroužku (1981–1983). Později se stal vyučujícím na instituci, kde sám studoval umění (1993–2002).
Carstensenovým prvotním prostředkem uměleckého vyjádření byla poezie. Již na střední škole psal básně, sbíral je do svazků a mezi vyučovacími hodinami je prodával svým spolužákům, tak jako to učnil i se svým prvním opusem Flieger sind Sieger/Helte (1975). Od té doby vydal Carstensen patnáct sbírek básní, pět esejů a čtyři antologie, což dokazuje, že ho láska k psaní nikdy neopustila.
Umělecky se Carstensen objevil na současné dánské scéně v řadách hnutí De Unge Vilde (Mladí divocí), volného sdružení mladých tvůrců, kteří odmítali dominantní konceptuální postupy a znovu si osvojili médium malby. Tento stylistický a procesní postoj inspirovaný Německem se představil v roce 1982 na výstavě Kniven på hovedet (Nůž na hlavě). Zkreslování obrazu prostřednictvím fotokopírování, zvětšování a dalších – někdy i nahodilých – manipulací bylo charakteristickým prostředkem subjektivního vyjádření této generace. Carstensenova tvorba dodnes ztělesňuje punkovo-nihilistický přístup k dvojrozměrnému dílu, což je efekt, kterého dosahuje překrýváním rovin a simulovaným vrstvením a zvětráváním plakátů a jiných propagačních obrazových materiálů z městského prostoru.
Carstensen, který pochází z tak odvážné generace a může se pochlubit jedinečným uměleckým stylem, si rychle udělal jméno. V roce 1992 zastupoval Dánsko na Bienále v Sydney, v roce 1994 na Bienále v Sao Paulu a v roce 1997 na Benátském bienále. V roce 2004 získal Eckersbergovu medaili.
V letech 2010–2015 probíhal jeho kurátorský projekt Shibboleth. V rámci této iniciativy Carstensen uspořádal ve své dílně 76 samostatných výstav přístupných pouze po domluvě, na nichž představil svá vlastní díla i díla jiných umělců. Výběr děl z tohoto projektu byl v roce 2015 přesunut do stálé sbírky Muzea umění v Esbjergu. O dva roky později muzeum vydalo vyčerpávající, více než 500stránkový katalog, který zdokumentoval všech 76 výstav.
V roce 2015 se zúčastnil významné retrospektivní výstavy s doprovodnou monografií What’s Left (Is Republican Paint) – Nine Sisters v Muzeu umění v Aarhusu.
V roce 2016 byla ve věznici se zvýšenou ostrahou Storstrøm Fængsel umístěna významná instalace sestávající z pěti bronzových postav v životní velikosti Doing Time/Critical Mass, která byla vytvořena konkrétně pro toto místo.
Carstensen žije a pracuje v Kodani.
