Jaan Elken se narodil v roce 1959 v Krasnojarském kraji, kam byla jeho rodina deportována v roce 1949. Jeho rodina se nakonec vrátila do rodného Estonska, kde Jaan v roce 1977 absolvoval fakultu architektury Estonské akademie umění. V letech 1979 až 1981 díky stipendiu prohloubil své studium v oblasti malířství. Vyučoval malířství v různých místních institucích: Tallinnském pedagogickém institutu (1987–1988), Estonské akademii umění (1988–1997) a Institutu pro kulturní výzkum a výtvarná umění na Univerzitě v Tartu (1997–2017). Od roku 2018 je na Univerzitě v Tartu emeritním profesorem.
V začátcích své profesní dráhy zastával funkce v místní samosprávě: nejprve jako architekt Tallinnské centrální správy pro architekturu a plánování (1977–1979) a pak jako historik umění s řídící pravomocí v Tallinnské centrální správě (1980–1987).
Nejprve si Elken v 70. letech osvojil hyperrealistický styl a postupně se stal jedním z nejznámějších abstraktních malířů své země. Jeho umění se vyznačuje mimořádnou texturou, která je nanášená v tak silných vrstvách, že vypadá téměř „špinavě“. Malíř, používající pruhované vizuální motivy a techniky jako vodítka pro diváka, doplňuje své převážně černé, bílé a šedé výtvory textem. Celková kompozice jeho děl připomíná vývěsní desky plné letáků a plakátů, které jsou potrhané, přelepené nebo zašlé časem.
Elken jako mnohostranná kulturní osobnost publikoval řadu textu na různá témata ve svém oboru: od umělecké kritiky po politické dokumenty. Zastával funkci vedoucího Svazu estonských malířů (1995–1999) a předsedy Sdružení estonských umělců (1999–2013).
