Claus Carstensen sündis 1957. aastal Sønderborgis. Ta õppis Kopenhaagenis Taani Kuninglikus Kunstiakadeemias (1977–1983) ja aastatel 1979–1983 Kopenhaageni Ülikoolis võrdlevat kirjandust. Samal ajal kuulus ta ka Kopenhaageni semiootikaringi (1981–1983). Aastatel 1993–2002 töötas ta Kopenhaagenis Taani Kuninglikus Kunstiakadeemias õppejõuna.
Carstenseni esimene eelistatud kunstiline eneseväljendusvorm oli luule. Ta kirjutas juba keskkoolis luuletusi, moodustas neist kogumikke ja müüs neid tundide vaheajal koolikaaslastele. Tema esimene opus oli „Flieger sind Sieger/Helte“ (1975). Carstenseni armastus kirjutamise vastu ei kadunud ka hiljem – praeguseks on ta avaldanud 15 luulekogumikku, viis esseed ja neli antoloogiat.
Kunstilises mõttes sööstis Carstensen Taani kaasaegse kunsti lavale noorte loomeinimeste rühmitusega De Unge Vilde (Noored Metsikud). Selle liikmed olid omavahel üsna lõdvalt seotud ning neid ühendas eesmärk hakata vastu domineerivatele kontseptuaalsetele lähenemisviisidele, et võidelda maalikunsti taasväärtustamise eest. Rühmituse saksalikku stiili ja kunstiloomeprotsessi eksponeeriti esmakordselt 1982. aastal näitusega „Kniven på hovedet“ (Nuga peas). Selle põlvkonna subjektiivseid ja ekspressiivseid väljendusvorme iseloomustab pildi moonutamine fotokoopiate, täiustuste ja muude mõnikord meelevaldsete manipulatsioonidega. Carstensen läheneb kahemõõtmelisele maalikunstile tänase päevani teatava pungiliku nihilismiga. Ta armastab kihistusi ja tasandeid ning kuhjab üksteise otsa pealtnäha kulunud plakateid ja muud linnaellu kuuluvat reklaammaterjali.
Carstensen sai ruttu tuntuks, kuna võrsus väga jõulisest põlvkonnast ja ka tema stiil oli eriline. Ta esindas Taanit 1992. aastal Sydney biennaalil, 1994. aastal São Paulo biennaalil ja 1997. aastal Veneetsia biennaalil. 2004. aastal pälvis ta Eckersbergi medali.
Aastatel 2010–2015 tegeles ta kuraatoriprojektiga „Shibboleth“. Selle raames korraldati Carstenseni ateljees tema ja teiste kunstnike teostest 76 eraldi näitust, mida pääses vaatama üksnes broneeringu alusel. Esbjergi kunstimuuseum võttis osa projektist 2015. aastal oma püsikollektsiooni. Kaks aastat hiljem avaldas muuseum kõigi 76 näituse kohta põhjaliku kataloogi, mille maht on enam kui 500 lehekülge.
2015. aastal korraldas Carstensen Århusi kunstimuuseumis suure tagasivaatenäituse „What’s Left (Is Republican Paint) – Nine Sisters“ ja avaldas ka samanimelise monograafia.
2016. aastal telliti temalt Storstrøm Fængseli tugevdatud valvega vanglasse suur kohaspetsiifiline teos „Doing Time/Critical Mass“, mis koosneb viiest elusuurusest pronksfiguurist.
Carstensen elab ja töötab Kopenhaagenis.
