Claus Carstensen syntyi Sønderborgissa vuonna 1957. Hän opiskeli Tanskan kuninkaallisessa kuvataideakatemiassa Kööpenhaminassa (1977–1983), luki samanaikaisesti vertailevaa kirjallisuutta Kööpenhaminan yliopistossa (1977–1983) ja osallistui Copenhagen Circle for Semiotics -yhdistyksen toimintaan (1981–1983). Myöhemmin hänestä tuli opettaja kyseisessä laitoksessa, jossa hän opiskeli taidetta vuosina 1993–2002.
Runous oli Carstensenin ensimmäinen taiteellinen ilmaisukeino. Tämä tanskalainen taiteilija kirjoitti jo ylemmällä perusasteella runoja, kokosi ne teoksiksi ja myi niitä oppituntien välissä koulukavereilleen. Näin hän teki ensimmäisen teoksensa Flieger sind Sieger/Helte (1975) kanssa. Tämän jälkeen Carstensen on julkaissut 15 runokokoelmaa, viisi esseetä ja neljä antologiaa, jotka osoittavat, ettei hänen rakkautensa kirjoittamiseen ole koskaan laantunut.
Taiteellisesti Carstensen syöksyi tanskalaisen nykytaiteen kentälle osana De Unge Vilde ryhmää, joka oli löyhä ryhmä nuoria taiteilijoita, jotka hylkäsivät vallitsevat käsitetaiteen suuntaukset ja omaksuivat taidemaalauksen. Tämä Saksasta innoituksensa saanut tyylillinen ja menetelmällinen kannanotto esiteltiin Kniven på hovedet -näyttelyssä (”Veitsi pään päällä”) vuonna 1982. Kuvan vääristäminen valokopioiden, parannusten ja muunlaisen – joskus mielivaltaisen – manipulaation avulla oli tämän sukupolven subjektiivisten ilmaisupyrkimysten perusominaisuus. Carstensenin nykytuotannossa on edelleen läsnä tuo sama punkhenkinen ja nihilistinen lähestymistapa kaksiulotteiseen taiteeseen. Tämän vaikutelman taiteilija saavuttaa kerrostamalla tasoja, simuloimalla kerrostumaa ja kuluttamalla julisteita ja muita mainonnallisia urbaaneja kuvia.
Carstensen tuli nopeasti tunnetuksi, koska hän oli rohkean sukupolven kasvatti ja hänen taiteellinen tyylinsä uhkui ainutlaatuisuutta. Hän edusti Tanskaa Sydneyn biennaalissa vuonna 1992, São Paulon biennaalissa vuonna 1994 ja Venetsian biennaalissa vuonna 1997. Hän sai Eckersbergin mitalin vuonna 2004.
Taiteilijan kuratorinen hanke Shibboleth käynnistyi vuonna 2010 ja päättyi vuonna 2015. Hanke koostui 76 erillisen näyttelyn pystyttämisestä Carstensenin työpajalla (käyttäen hänen ja muiden taiteilijoiden teoksia), jonne pääsi ainoastaan varaamalla ajan. Joitakin hankkeen osia siirrettiin Esbjergin taidemuseon pysyvään kokoelmaan vuonna 2015. Kaksi vuotta myöhemmin museo julkaisi kattavan yli 500-sivuisen luettelon kaikista 76:sta näyttelystä.
Vuonna 2015 hän sai Århusin museoon merkittävän takautuvan näyttelyn ja sitä seurasi monografia nimeltä What’s Left (Is Republican Paint) – Nine Sisters.
Vuonna 2016 merkittävä tilaustyö, Doing Time/Critical Mass, joka sisälsi viisi bronssista hahmoa luonnollisessa koossa, asennettiin Storstrøm Fængselin korkean turvaluokan vankilaan, jonne se oli nimenomaisesti tehty.
Carstensen asuu ja työskentelee Kööpenhaminassa.
