Jaan Elken syntyi vuonna 1954 Krasnojarskin aluepiirissä, jonne hänen perheensä oli karkotettu vuonna 1949. Perhe palasi lopulta kotimaahansa Viroon, jossa Elken valmistui Viron taideakatemian arkkitehtuurin laitokselta vuonna 1977. Hän jatkoi opintojaan maalaustaiteen parissa stipendin turvin vuosina 1979–1981. Elken on opettanut maalausta monissa oppilaitoksissa, joista mainittakoon Tallinnan pedagoginen instituutti (1987–1988), Viron taideakatemia (1988–1997) ja Tarton yliopiston kulttuurintutkimuksen ja taiteen laitos (1997–2017). Hän on ollut vuodesta 2018 lähtien Tarton yliopiston emeritusprofessori.
Uransa alussa Elken työskenteli paikallishallinnossa: ensin arkkitehtinä Tallinnan arkkitehtuurin ja kaupunkisuunnittelun keskushallinnossa (1977–1979) ja sen jälkeen taidehistorian asiantuntijana Tallinnan kulttuurihallinnossa (1980–1987).
Alun perin hyperrealistisen tyylin 1970-luvulla valinneesta taiteilijasta tuli sittemmin yksi maansa tunnetuimmista abstraktin maalaustaiteen edustajista. Hänen teoksissaan on erittäin voimakas tekstuuri ja materiaalintuntu. Paksusti levitetyt maalikerrokset aikaansaavat lähes ”likaisen” vaikutelman. Teosten visuaalisina aiheina ovat usein eri tekniikoilla luodut raidat, jotka ohjaavat katsetta. Pääosin mustaa, harmaata ja valkoista väripalettia suosiva taiteilija täydentää usein maalauksiaan erilaisilla lyhyillä teksteillä. Sommitelmat muistuttavat ilmoitustauluja, jotka ovat täynnä lentolehtisiä ja julisteita, jotka ovat ajan mittaan repeilleet, kuluneet kokonaan pois tai joutuneet uusien tiedotteiden peittoon.
Elken on monipuolinen kulttuuripersoona, joka on julkaissut alallaan lukuisia kirjoituksia taidekritiikistä taidepolitiikkaan. Hän on toiminut Viron taidemaalariliiton puheenjohtajana (1995–1999) ja Viron taiteilijayhdistyksen puheenjohtajana (1999–2013).
