Ο Δημοσθένης Κοκκινίδης γεννήθηκε το 1929 στον Πειραιά. Παιδί προσφύγων, με την κατάσταση της οικογένειάς του να είναι ήδη επισφαλής και να επιδεινώνεται ακόμη περισσότερο κατά τη διάρκεια της δικτατορίας Μεταξά, όταν ο πατέρας του Κοκκινίδη απολύθηκε από το Ληξιαρχείο του Πειραιά για τις σοσιαλιστικές πολιτικές του απόψεις και αργότερα όταν συνελήφθη ως κομμουνιστής στη γερμανική κατοχή. Μέσα σε αυτό το ταραχώδες πλαίσιο, ο νεαρός Κοκκινίδης βρήκε παρ’ όλα αυτά τον τρόπο να ερωτευτεί την τέχνη, και το ενδιαφέρον για αυτή εκδηλώθηκε από πολύ νωρίς. Στο σχολείο, οι συμμαθητές του τον αποκαλούσαν «καλλιτέχνη», ενώ εκείνος με ένα μπλοκ ζωγραφικής σχεδίαζε δασκάλους ή διάσημους ηθοποιούς.
Η ακαδημαϊκή του πορεία ξεκινά το 1950 με την πιο ρεαλιστική επιλογή του να σπουδάσει οικονομικά στην Ανωτάτη Σχολή Οικονομικών και Εμπορικών Επιστημών (νυν Οικονομικό Πανεπιστήμιο). Δύο χρόνια αργότερα όμως, εγγράφεται στην Ανωτάτη Σχολή Καλών Τεχνών της Αθήνας όπου σπούδασε μέχρι το 1958 με καθηγητές τους Σπύρο Παπαλουκά και Γιάννη Μόραλη.
Από το 1959 έως το 1961 ήταν υπεύθυνος του καλλιτεχνικού τμήματος του νεοϊδρυθέντος Ελληνικού Οργανισμού Χειροτεχνίας. Στο πλαίσιο αυτό, ταξίδεψε στην Ιταλία και ασχολήθηκε με την ελληνική λαϊκή χειροτεχνία και την κεραμική. Αυτή η περίοδος σηματοδοτήθηκε από συνεργασίες και ενασχόληση με τις εφαρμοσμένες τέχνες. Ο Κοκκινίδης και η σύζυγός του, η σημαντική ζωγράφος Πέπη Σβορώνου (1934-2011), σχεδίαζαν αντικείμενα και είδη για την εγχώρια και διεθνή αγορά, όπως χειροποίητα είδη σπιτιού και ρούχα. Η συνεργασία εκδηλώθηκε μέσω της ίδρυσης ομάδων ή συλλόγων. Ο Κοκκινίδης υπήρξε ιδρυτικό μέλος της Ομάδας Τέχνης A (1961-1967) και της Ομάδας για την Επικοινωνία και την Εκπαίδευση στην Τέχνη (1976-1981). Αργότερα έγινε επίσης μέλος –με ποικίλους βαθμούς συμμετοχής– πολλών οργανισμών, μεταξύ των οποίων το ΙΚΥ (Ίδρυμα Κρατικών Υποτροφιών), το Διαπανεπιστημιακό Κέντρο Αναγνώρισης Τίτλων Σπουδών Αλλοδαπής (ΔΙΚΑΤΣΑ), το Εθνικό Θέατρο, το Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης (ΜΙΕΤ) και της Εταιρείας Μελέτης Νεοελληνικού Πολιτισμού.
Η δεκαετία του 1960 ήταν επίσης η περίοδος των πρώτων ατομικών του εκθέσεων, στην Ύδρα (1961) και αργότερα στην Αθήνα (1964), όπου παρουσίασε μια ζωγραφική με αρκετά αφαιρετικά στοιχεία, με θέματα εμπνευσμένα από τη ζωή στις λαϊκές συνοικίες και στα νησιά. Η ζωγραφική του ήταν πολιτικά φορτισμένη, πράγμα που αφενός βοήθησε και αφετέρου περιέπλεξε τη φήμη του ως καλλιτέχνη.
Η δεκαετία του 1980 σηματοδότησε μια αλλαγή από αυτή την άποψη. Ο Κοκκινίδης εγκατέλειψε τις άμεσες αναφορές στην πολιτική και η ζωγραφική του επικεντρώθηκε σε προσωπικά βιώματα, με κέντρο τη φύση και την ανθρώπινη επικοινωνία. Ως καθηγητής, ήταν γνωστός στους μαθητές του για την μεταδοτικότητά του, κι έτσι το 1976 εξελέγη τακτικός καθηγητής στην Ανωτάτη Σχολή Καλών Τεχνών της Αθήνας, όπου διετέλεσε πρύτανης και αντιπρύτανης (1979-1982) και δίδαξε μέχρι το 1997. Βιογραφίες και μαρτυρίες τον μνημονεύουν ως έναν από τους πιο αγαπημένους δασκάλους του ιδρύματος για πολλές γενιές μαθητών που πέρασαν από την τάξη του.
Το 1989 το Μακεδονικό Κέντρο Σύγχρονης Τέχνης Θεσσαλονίκης διοργάνωσε μια μεγάλη αναδρομική έκθεση αφιερωμένη στο έργο του. Το 2005 εκδόθηκαν επίσης διάφορα βιβλία, όπως και τα δοκίμιά του για την τέχνη, ενώ το 2007 κυκλοφόρησε μονογραφία για το έργο του.
Ο Κοκκινίδης απεβίωσε το 2020.
