Ο Claus Carstensen γεννήθηκε το 1957 στο Sønderborg. Σπούδασε στη Βασιλική Ακαδημία Καλών Τεχνών της Δανίας στην Κοπεγχάγη (1977-1983), μελετώντας ταυτόχρονα συγκριτική λογοτεχνία στο Πανεπιστήμιο της Κοπεγχάγης (1979-1983) και συμμετέχοντας στον Κύκλο Σημειολογίας της Κοπεγχάγης (1981-1983). Αργότερα, από το 1993 έως το 2002, χρημάτισε διδάσκων στο ίδρυμα στο οποίο σπούδασε τέχνη.
Το πρώτο μέσο καλλιτεχνικής έκφρασης του Carstensen ήταν η ποίηση. Από το λύκειο ήδη, ο Δανός καλλιτέχνης έγραφε ποιήματα, τα συγκέντρωνε σε τόμους και τα πουλούσε στα διαλείμματα στους συμμαθητές του, όπως έκανε με το πρώτο του έργο Flieger sind Sieger/Helte (1975). Έκτοτε, ο Carstensen έχει εκδώσει 15 ποιητικές συλλογές, πέντε δοκίμια και τέσσερις ανθολογίες, κάτι που αποδεικνύει ότι η αγάπη του για τη συγγραφή δεν ατόνησε ποτέ.
Όσον αφορά τις καλές τέχνες, ο Carstensen εμφανίστηκε στη σύγχρονη δανική καλλιτεχνική σκηνή μέσω των De Unge Vilde (οι Νέοι Άγριοι), μιας ανοιχτής ομάδας νεαρών δημιουργών οι οποίοι απέρριπταν την κυριαρχία των εννοιολογικών πρακτικών ασπαζόμενοι εκ νέου το μέσο της ζωγραφικής. Αυτή η υφολογική και διαδικαστική τοποθέτηση, εμπνευσμένη από τη Γερμανία, παρουσιάστηκε μέσω της έκθεσης Kniven på hovedet (Το μαχαίρι στο κεφάλι) του 1982. Η παραμόρφωση των εικόνων μέσω της φωτοτύπησης, οι μεγεθύνσεις και άλλες –ορισμένες φορές αυθαίρετες– μορφές επεξεργασίας αποτελούσαν το μέσο για τις υποκειμενικές προσπάθειες αυτής της γενιάς να εκφραστεί. Μέχρι σήμερα, το έργο του Carstensen εκφράζει μια πανκ μηδενιστική άποψη σε δισδιάστατα έργα, αποτέλεσμα το οποίο επιτυγχάνει με την υπέρθεση επιπέδων και την προσομοίωση της συσσώρευσης και της φθοράς αφισών και άλλων αστικών διαφημιστικών εικόνων.
Ανήκοντας σε μια τόσο τολμηρή γενιά και έχοντας να επιδείξει ένα μοναδικό καλλιτεχνικό ύφος, ο Carstensen έγινε πολύ γρήγορα γνωστός. Εκπροσώπησε τη Δανία στην Μπιενάλε του Σίδνεϊ το 1992, του Σάο Πάολο το 1994 και της Βενετίας το 1997, ενώ τιμήθηκε με το μετάλλιο Eckersberg το 2004.
Ως καλλιτεχνικός επιμελητής, ξεκίνησε το 2010 το εγχείρημα Shibboleth, το οποίο ολοκλήρωσε το 2015. Η πρωτοβουλία αυτή συνίστατο στη διοργάνωση 76 διαφορετικών εκθέσεων στο εργαστήριο του Carstensen (όπου παρουσιάζονταν δικά του έργα, καθώς και άλλων καλλιτεχνών), τις οποίες μπορούσε κανείς να επισκεφτεί μόνο με ραντεβού. Έργα του εγχειρήματος αυτού μεταφέρθηκαν στη μόνιμη συλλογή του Μουσείου Τέχνης του Esbjerg το 2015. Δύο χρόνια αργότερα, το μουσείο εξέδωσε έναν πλήρη κατάλογο με έκταση πάνω από 500 σελίδες, στον οποίο καταγράφονταν και οι 76 εκθέσεις.
Το 2015 έλαβε χώρα στο Μουσείο Τέχνης του Aarhus μια μεγάλη ρετροσπεκτίβα του έργου του, η οποία συνοδευόταν από τη μονογραφία What’s Left (Is Republican Paint) – Nine Sisters.
Το 2016 εγκαταστάθηκε στις φυλακές υψίστης ασφαλείας Storstrøm Fængsel ένα μεγάλο έργο σχεδιασμένο ειδικά για τη συγκεκριμένη τοποθεσία, το οποίο αποτελούνταν από πέντε ορειχάλκινες μορφές σε φυσικό μέγεθος και έφερε τον τίτλο Doing Time/Critical Mass.
Ο Carstensen ζει και εργάζεται στην Κοπεγχάγη.
